مرگبارترین خطای ریاضی ۲۰۲۰
یک اشتباه ساده ریاضیاتی ممکن است بتواند توضیح دهد چرا بسیاری از مردم خطر ویروس کرونا را کمتر از واقعیت تخمین می‌زنند و از رعایت فاصله‌گذاری اجتماعی، استفاده از ماسک و شستن دست‌ها پرهیز می‌کنند.
تصور کنید یک قرارداد از طرف بانک به شما پیشنهاد شده که بر طبق آن هر سه روز پولی که در بانک دارید ۲برابر می‌شود. اگر امروز ۱دلار در بانک سرمایه‌گذاری کنید چقدر طول می‌کشد تا یک میلیونر شوید؟
۱سال؟ ۶ماه؟ ۱۰۰ روز؟
پاسخ دقیق ۶۰ روز از زمان نخستین سرمایه‌گذاری است؛ در شصتمین روز سپرده دقیقاً ۱۰۴۸۵۷۶ دلار خواهد بود. ۳۰ روز بعد شما بیش از ۱میلیارد پول در حساب بانکی خود خواهید داشت؛ و تا پایان سال، شما بیش از ۱۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰ دلار – ۱ آندیسیلون دلار – پول خواهید داشت.
اگر تخمینی که شما زده‌اید با این عدد فاصله دارد، بدانید در این خطا تنها نیستید. بسیاری از مردم سرعت افزایش ارزش را کمتر از واقعیت تخمین می‌زنند. این خطا با عنوان «خطای رشد نمایی» شناخته می‌شود. این خطا اگرچه بسیار ناملموس به نظر می‌رسد، اما پیامد‌های عمیقی برای زندگی مردم داشته است.
مطالعات نشان می‌دهد افرادی که نسبت به خطای رشد نمایی تردید دارند نگرانی کمتری درباره شیوع کووید ۱۹ دارند و کمتر احتمال دارد پروتکل‌هایی مانند رعایت فاصله‌گذاری اجتماعی، شستن دست‌ها یا پوشیدن ماسک را رعایت کنند. به عبارت دیگر، این خطای ساده ریاضیاتی می‌تواند هزینه سنگینی بر زندگی انسان‌ها تحمیل کند که یعنی برای خطی کردن منحنی رشد کرونا و پیشگیری از موج‌های بعدی شیوع این ویروس اقدام اولیه باید تصحیح این خطا باشد.
برای آنکه بفهمیم خاستگاه این خطای خاص کجاست، نخست باید با انواع دیگری از رشد آشنا شویم. آشناترین رشد «رشد خطی» است. اگر باغچه شما هر روز ۳ سیب بدهد شما بعد از دو روز ۶ سیب و بعد از ۳ روز ۹ سیب خواهید داشت و این اعداد به همین ترتیب افزایش می‌یابد.
اما رشد نمایی در طول زمان صعودی می‌شود. ساده‌ترین مثال برای توضیح رشد نمایی رشد جمعیت است: هر چه تعداد افرادی که در سن زادآوری هستند بیشتر باشد، جمعیت سریعتر رشد می‌کند. اگر شما علف هرزی در حوض خانه دارید که هر روز ۳برابر می‌شود، تعداد گیاهان در ابتدا ممکن است کم باشد – ۳ عدد در روز دوم و ۹ عدد در روز سوم-، اما خیلی زود این مقدار صعودی می‌شود.
تمایل ما به نادیده گرفتن رشد نمایی قدمتی بسیار طولانی دارد. یک افسانه هندی می‌گوید، به سیسا بن داهیر، برهمایی که نخستین نسخه شطرنج را اختراع کرده بودد، گفتند هر آنچه می‌خواهد را می‌تواند به عنوان پاداش از پادشاه مطالبه کند. او درخواست کرد که در نخستین خانه شطرنج یک دانه گندم بگذارند، در دومین خانه ۲ عدد، در سومین خانه ۴ عدد و این اعداد را تا رسیدن به خانه ۶۴ام همین‌طور دو برابر کنند. پادشاه به درخواست به ظاهر احمقانه ابن داهیر خندید؛ اما از خزانه‌داری او به او اطلاع دادند درخواست این مخترع از موجودی خزانه و کل سرزمین‌های تحتِ فرمان پادشاه بیشتر خواهد شد. (۱۸۴۴۶۷۴۴۰۷۳۷۰۹۵۵۱۶۱۵ دانه گندم در مجموع).
در دهه ۲۰۰۰ میلادی بود که دانشمندان خطای رشد نمایی را به شکلی علمی مطالعه کردند و به این نتیجه رسیدند که اغلب مردم – درست مانند پادشاهی که می‌خواست به سیسا پاداش بدهد – تصور می‌کنند که بیشتر رشد‌ها خطی هستند؛ این خطا باعث می‌شود که آن‌ها سرعت رشد نمایی را بسیار کمتر از واقعیت تخمین بزنند.
مطالعات اولیه درباره خطای رشد نمایی در مورد حساب‌های بانکی ما بود. برای مثال بیشتر حساب‌های پس‌انداز به افراد سود مرکب می‌دهند یعنی سود اضافی‌ای که به سود کنونی تعلق می‌گیرد. این یکی از مثال‌های قدیمی درباره رشد نمایی است و به این معنی است که حتی نرخ پایین سود هم می‌تواند در گذر زمان سود هنگفتی را نصیب سپرده‌گذار کند. فرض کنید نرخ سود ۵ درصد است؛ ۱۰۰۰ پوند سرمایه‌گذاری امروز در بانک ارزشی معادل ۱۰۵۰ پوند در سال بعد و ۱۱۰۲.۵۰ پوند در سال بعد از آن و .. خواهد داشت و این ارزش در چهلمین سال به بیش از ۷۰۰۰ پوند خواهد رسید.
اما بسیاری از مردم به دلیل خطای رشد نمایی این میزان را کمتر از واقعیت تخمین می‌زنند و سرمایه‌گذاری در بانک را بسیار دیر آغاز می‌کنند. خطای رشد نمایی علاوه بر آنکه پس‌انداز افراد را کاهش می‌دهد، باعث می‌شود افراد در مقابل وام‌های نامطلوب که در گذر زمان نرخ بهره آن‌ها چندبرابر می‌شود بسیار آسیب‌پذیر شوند.
مطالعه‌ای که در سال ۲۰۰۸ انجام شد نشان داد که این خطا نسبت درآمد به بدهی در افراد را از میانگین ۲۳ درصد به میانگین ۵۴درصد افزایش می‌دهد. شگفتی‌آور بود که میزان تحصیلات افراد باعث نشده بود که آن‌ها دچار خطای رشد نمایی نشوند. دانیلا سِلِ، محقق در موسسه تکنولوژی زوریخ در سوئیس، می‌گوید: «حتی دانشجویانی که علم ریاضی را خوانده‌اند هم در مقابل این خطا آسیب‌پذیر هستند. درواقع آشنایی با خطای رشد نمایی کمک‌کننده است، اما به‌طور کامل از خطای رشد نمایی پیشگیری نمی‌کند.»
این خطا ناشی از آن است که افراد بیشتر از آنکه به قدرت تفکر خود اعتماد کنند به موسسه مالی خود اعتماد می‌کنند؛ بنابراین با اینکه این دانشجویان درباره سود مرکب آموزش دیده‌اند، باز هم فراموش می‌کنند آن را به کار گیرند. عمق فاجعه حتی بدتر از این است؛ زیرا حتی افرادی که خطای رشد نمایی را متوجه می‌شوند هم در تخمین سود مرکب دچار خطا می‌شوند.
افراد تحصیل‌کرده دچار یک خطای شناختی به نام «سوگیری نقطه کور» هستند که یعنی باور دارند کمتر از دیگران دچار خطا می‌شوند و به نظر می‌رسد خطای رشد نمایی یکی از اصلی‌ترین خطا‌های آن‌هاست.
با شروع همه‌گیری بیماری کووید ۱۹ محققان شروع کردند به مطالعه درباره اثرگذاری خطای رشد نمایی در گسترش بیماری کووید ۱۹. برطبق مطالعات شیوع‌شناسان، اگر اقدامات پیشگیرانه صورت نگیرد، موارد ابتلا به کووید ۱۹ هر ۳ تا ۴ روز ۲ برابر می‌شود. به همین علت بود که دانشمندان توصیه کردند تا گردش ویروس در بین جمعیت از کنترل خارج نشده، قرنطینه سراسری آغاز شود.
در ماه مارس، یورس لامرس از دانشگاه برمن در آلمان به تیم تحقیقاتی یان کروسیوس و آنه گاست از دانشگاه کلن پیوست تا یک پیمایش آنلاین طراحی کرده و از مردم بپرسند نظرشان درباره همه‌گیری ویروس کرونا چیست. این دانشمندان متوجه شدند که خطای رشد نمایی در زمینه فهم شیوع ویروس در میان مردم بسیار شایع است و اغلب مردم خطرات ناشی از ویروس را کمتر از واقعیت تخمین می‌زنند.
از آن مهمتر این دانشمندان دریافتند خطای رشد نمایی به طور مستقیم بر شکل‌های پیشگیری اثر می‌گذارد. هرچه تخمین افراد بدتر بود [یعنی خطرات را کمتر از واقعیت تخمین می‌زدند]آن‌ها نیاز کمتری می‌دیدند تا فاصله اجتماعی را رعایت کنند: خطای رشد نمایی باعث شده بود که آن‌ها توصیه‌های رسمی را موجب اذیت و آزار بدانند.
نتایج این مطالعه با مطالعه دیگری که در موسسه مدیریت بانگلور در هند انجام شد مطابقت دارد. نتایج این تحقیق نیز نشان داد خطای رشد نمایی می‌تواند نارضایتی از توصیه‌های بهداشت جهانی مبنی بر استفاده از ماسک، شستن دست‌ها و استفاده از شوینده‌های الکلی و قرنطینه شخصی را افزایش دهد.
این محققان حدس می‌زنند که برخی بازنمایی‌های گرافیکی که در رسانه‌ها استفاده می‌شود اثر عکس بروی مخاطبان داشته باشد. در رسانه‌ها معمول است که تعداد عفونت در «مقیاس لوگاریتمی» ارائه می‌شود که بر اساس آن اعداد روی محور y. با توان ۱۰ افزایش پیدا می‌کند (بنابراین فاصله بین ۱ تا ۱۰ درست مانند فاصله بین ۱۰ تا ۱۰۰۰ یا ۱۰۰ تا ۱۰۰۰ است).
این نوع بازنمایی‌ها کمک می‌کند تا ترسیم مناطق مختلف با رشد کم و زیاد مشخص شود، اما درعین‌حال رشد و گسترش ویروس را خطی‌تر از آنچه واقعیت دارد نشان می‌دهد که می‌تواند خطای رشد نمایی را افزایش دهد. محققان تحقیق مذکور می‌گویند: «افراد باید توانایی شناختیِ بسیار بالایی داشته باشند تا بتوانند مقیاس لگاریتمی را برای فهم مسیر رشد بیماری به کار بگیرند بنابراین به نظر می‌رسد ارائه جداول ساده آماری اثر قوی‌تری داشته باشد.»
خبر خوب آن است که دیدگاه‌های مردم بسیار انعطاف‌پذیر است. وقتی لامرس و همکارانش به مشارکت‌کنندگان در پژوهش خطای رشد نمایی را یادآوری کردند و دو هفته بعد دوباره به آن‌ها مراجعه کردند متوجه شدند که توانایی مردم در تخمین سرعت انتشار ویروس بهبود یافته و این تغییر به رعایت فاصله‌گذاری اجتماعی و رعایت پروتکل‌های بهداشتی انجامیده است.
سِلِ نیز در تحقیقات خود نشان حتی تغییرات جزئی در چارچوب‌بندی می‌تواند اثرات بزرگ داشته باشد. برای مثال، آن‌ها نشان دادند اینکه به جای آنکه هر روز افزایش تعداد مبتلایان در قالب درصد یادآوری شود، بهتر است بر این نکته تأکید شود که ویروس در مدت زمان کوتاه می‌تواند به تعداد زیادی از افراد سرایت کند و این مدت زمان بستگی به عواملی مانند رعایت فاصله‌گذاری اجتماعی نیز دارد.
لامرس می‌گوید در این همه‌گیری باید بر ماهیت نمایی رشد ویروس تأکید شود. او می‌گوید: «این پژوهش نشان می‌دهد که رسانه‌ها و دولت چگونه باید درباره همه‌گیری گزارش ارائه دهند. آن‌ها نه تنها باید آمار امروز و هفته گذشته را ارائه دهند بلکه باید توضیح دهند اگر رشد صعودی به این شکل ادامه پیدا کند، در روزها، هفته‌ها و ماه‌های آینده این رقم به چه میزان خواهد رسید.»
او خوشبین است که تصحیح جزئی خطای رشد نمایی می‌تواند فواید زیاد به دنبال داشته باشد. او می‌گوید: «در آمریکا ویروس فقط در عرض چند ماه توانست بیش از ۵میلیون نفر را درگیر کند. اگر توانسته بودیم در ماه مارس بر خطای رشد نمایی فائق بیاییم و همه آمریکایی‌ها را متقاعد کنیم که وضعیت واقعیت خطرناک است، مطمئن هستم که ۹۹ درصد از فاصله گذاری اجتماعی استقبال می‌کردند.»
